Swoją przygodę z biathlonem rozpoczął w 1976 roku, w barwach Klubu Sportowego Gwardia Szklarska Poręba. Jako junior zdobył siedem medali mistrzostw Polski, w tym złoto w sztafecie wraz z Januszem Turkiem i Markiem Adamczakiem. W 1979 roku otrzymał powołanie do kadry olimpijskie przygotowującej się do startu na Olimpiadzie w Lake Placid lecz ostatecznie po decyzji działaczy, którzy nie zgłosili kadry biathlonistów do wyjazdu na igrzyska nie dane mu było wystąpić na tej najważniejszej dla sportowca imprezie.
W kolejnych latach zdobył dwa brązowe medale w mistrzostwach Polski seniorów w sztafecie 4×7,5 km (wraz z Markiem Adamczakiem, Antonim Adamikiem, Stanisławem Kępką) oraz dwukrotnie reprezentował nasz kraj na Mistrzostwach Świata. Niedługo po likwidacji klubu Gwardia Szklarska Poręba zakończył karierę zawodniczą. Wkrótce potem został trenerem i podjął się wychowania młodych zawodników w MKS Karkonosze Jelenia Góra oraz w Szkole Mistrzostwa Sportowego w Karpaczu. Podopieczni H. Przybyszewskiego zdobyli łącznie 15 złotych, spośród 30 w sumie, medali Mistrzostw Polski juniorów.
Sukcesem H. Przybyszewskiego były też powołania jego zawodników do kadry narodowej juniorów i starty w Mistrzostwach Świata i Europy juniorów. Dwóch objęto szkoleniem olimpijskim.Punktem szczytowym kariery trenerskiej było powołanie w 1997 roku do pracy z kadrą olimpijską. Dwukrotnie Henryk Przybyszewski wziął udział w najważniejszych zawodach globu: w Nagano'98 odpowiedzialny był za przygotowanie sprzętu narciarskiego, zaś w Salt Lake City w 2002 roku był asystentem głównego trenera Jurija Albersa. Kolejnym krokiem w karierze trenerskiej Z. Przybyszewskiego była praca z kadrą młodzieżową kobiet i juniorek. W latach 2002-07 jego podopieczne zdobyły 15 medali mistrzostw świata i Europy juniorek w biathlonie letnim i zimowym. Pracował m.in. z Krystyną Guzik, Weroniką Nowakowską czy Agnieszką Cyl. W latach 90. współpracował z kardą paraolimpijczyków. Pracę w Polskim Związku Biathlonu zakończył w grudniu 2006 roku.
