Kariera aktorska Roberta Mani rozpoczęła się w 2007, gdy po ukończeniu studiów aktorskich w Państwowej Wyższej Szkole Teatralnej im. Ludwika Solskiego w Krakowie – Filii we Wrocławiu, dołączył do zespołu artystycznego jeleniogórskiego Teatru im. Norwida. Jego debiut sceniczny to postać tytułowego Człowieka Wiewiórki w sztuce opartej na tekście Małgorzaty Sikorskiej–Miszczuk „Śmierć Człowieka–Wiewiórki” w reż. Natalii Korczakowskiej (2007). Następnie zagrał Ernesta Römę, wieloletniego i bardzo oddanego przyjaciela tytułowego bohatera w „Karierze Arturo Ui” Bertolta Brechta w reż. ówczesnego dyrektora Wojciecha Klemma (2007).
Sprawdził się też w farsach i komediach pomyłek, w tym jako sierżant Match w „Co widział kamerdyner” Joego Ortona w reż. Marka Siudyma (2019), kelner Tony w „Prezencie urodzinowym” Robina Hawdona w reż. Jerzego Bończaka (2021) czy Nick w „Królowej cateringu” Lawrence Alison w reż. Macieja Kowalewskiego (2022). Z kolei w spektaklu online „Pustostan” Malwiny Prześlugi w reż. Tadeusza Wnuka (2020) stworzył kapitalną postać Psa; był kompletnie niedosłowny, a jednak budzący sympatię.
W adaptacji opowiadania Agathy Christie „Pułapka na myszy” (2020) w reż. Marka Siudyma pojawił się w roli gościa pensjonatu Christophera, barwnego, wszędobylskiego, naznaczonego przez rodziców imieniem po sławnym architekcie, a jego postać oscyluje między komizmem, a tragizmem. W widowisku „To wiem na pewno” Andrew Bovella w reż. Roberta Czechowskiego (2021) jako Mark nosi w sobie tajemnicę swojego wyobcowania; mówi o tym, że jako dziecko chował się na drzewie, obserwował rodzinę z ukrycia i nie czuł się jej częścią.
W komedii „Zagraj to jeszcze raz, Sam” Woody'ego Allena w reż. Marcina Sosnowskiego (2021) zagrał niespełna 30–letniego neurotycznego maniaka – krytyka filmowego Allana Felixa, wielbiciela i nieudolnego naśladowcy Humpreya Bogarta. W tragikomedii „Powiedzmy miłość” Terence'a Frisby'ego w reż. Tomasza Dutkiewicza (2023) po mistrzowsku uwypukla zadęcie biznesmena Piersa Bostona. Z kolei w „Kolacji na cztery ręce” Paula Barza w reż. obecnego dyrektora teatru Tadeusza Wnuka (2023) wcielił się w postać Johanna Sebastiana Bacha.
